刘润丨这,就是数学

请原谅我今天,冒昧地拉着你聊这个话题——数学。

数学这个话题,是我一直想分享,但又不敢分享的。

为什么?

因为,它太难了。

这两个字,简直就是一个抽象扭曲的魔鬼。甚至,有同学在报考大学专业的时候说,只要不学数学,选什么专业都行!

我理解。我明白。

可是,对大部分人来说,学数学,不是为了解开数学题,不是为了当数学家,而是为了培养数学思维。

数学思维,不仅能让你登上更高的高度,开拓你的眼界,也能够帮你建立一些正确的常识,让你少走一些弯路,并且让你在人生的每一个岔路口,有更多更多的选择。

今天我能够给企业做战略咨询,能够快速洞察一件事物的本质,其实,最最根本的能力,就来自于数学思维。

可是,数学还是太难了,我学不会怎么办?

解数学题也许很难,数学考试拿满分也许很难,但是,只要你愿意,培养自己的数学思维其实并不难。

今天的文章会有些长,内容有点多,但我会尽可能地用我绵薄的知识,把它讲得更好玩一些。

相信我,坚持看完,你会有一些小启发的。

1

什么?你还是抵触?为什么要抵触?

好吧。我试着猜猜,你看看是不是这么回事。

很多人学了十几年的数学,一离开学校,根本不知道数学到底有什么用。

语文,也很难学。但学好语文,起码能写出动人的情书。

英语,还是很难学。但学好英语,起码出国旅游的时候不需要请翻译。

数学…我一直觉得数学挺简单的,加减乘除。

直到三角函数出现在我生命里的那一天。

(三角函数,图片来自网络)

自打Sin和Cos出现起,老师不再亲切了,课本变成天书了,我的世界也开始变得灰暗了。谁能告诉我,学这些三角函数有什么用?我保证以后不碰三角形的物体还不行吗?

为何数学恐怖如斯?

不妨试着想象一下,数学,就是一座高楼大厦。

那,这座大厦是怎么一步一步被搭建起来的呢?

你看,数学的世界里,有很多的公理。

比如说,任意两个点可以通过一条直线连接;任意线段能无限延长成一条直线;给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径做一个圆;所有直角都全等;若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角和,则这两条直线在这一边必定相交。

头都晕了!

但你可能已经想到了。是的,这是欧氏几何的5条基本公理。

从这5条公理出发,用纯逻辑推理的方法,可以推导出无数条定理。

比如说,每一条线的角度都是180度;三角形的内角和等于180度;过直线外的一点,有且只有一条直线和已知直线平行……

这就是一幢名叫欧氏几何的大厦。

你发现了吗?数学,本来就是逻辑的产物。

可如果,我从这幢大厦里,随机地抽出一块产物递给你呢?

这块产物原本是用来解决一个什么样的问题的?不知道。是从哪条公理推导出来的?也不知道。是怎么推导出来的?还是不知道。

不知道怎么办?

不需要知道,记下来就行了。可谁又能记下一整座大厦呀。

学的时候昏昏沉沉,考的时候自然天旋地转。

可是,你相信吗?

所有的数学,都是为了解决有趣的问题。

你不信?

我举个例子。

2

先抛一个问题吧。

你知道,为什么计算机要用二进制吗?

好吧。这个问题可能有点简单。因为计算机的各个门电路,只有“开”和“关”两种状态。那就用“0”来表示关,用“1”来表示开。简单、方便。

既然这么简单,可为什么绝大部分的国家,到最后采用了十进制呢?

是为了解决计数的问题。

我今天采回了一批果子,和你们共享。你家分多少颗,他家分多少颗,这就得有个数。

怎么记这个数呢?用计算器吗?进制诞生的时候,不光是没有计算器,恐怕是连本子都没有。

那怎么办?

于是,拥有高等智慧的人类,不约而同地望向了自己的双手。

这十根手指,不就是天赐的计算器吗?分一颗,掰一根。分两颗,掰两根。

分十一颗…好吧,再掰一轮。

可是,既然十进制是天赐的宝物,为什么还有十二进制呢?

比如说,星座,是十二进制的。生肖,也是十二进制的。

为什么?是因为古代有一个特殊的种族,长了十二根手指吗?

那倒不是。其实答案,依然在你的手上。

如果,你不嫌弃的话,我想邀请你和我一起做这样的一套动作。

第一步,张开你的右手。

第二步,移动你的大拇指,放到食指最下面的指节上,并默念:1。然后向上移动你的大拇指,放到食指中间的指节上,并默念:2。再向上移动,并默念:3。

第三步,移动你的大拇指,放到中指最下面的指节上,并默念:4。

……

最终,你会成功地数到12。

怎么样?算出我的财运了吗?能和我说说吗?

不闹了。这就是十二进制。不是有人长了十二根手指头,而是因为有的人习惯掰手指,有的人习惯点指节。

那那那为什么还有六十进制呢?

比如说,闹钟,是六十进制的。甲子纪年法,也是六十进制的。

不卖关子了。答案,仍然在你的手上。

有的人习惯掰手指,有的人习惯点指节。那把“掰手指”和“点指节”结合一下,就是六十进制了。

你看,用右手掰手指,能计五个数。用左手点指节,能计十二个数。

是的,你已经想到了。五乘以十二,就是六十。

你再猜猜,这个世界上,有没有二十进制呢?

当然。人类有双手双脚,共计二十个指头,当然也会有二十进制的计数法。据说,玛雅人用的就是二十进制。

至于二十进制为什么很少被使用的话…

大概是因为用脚计数不文明吧。

二进制,十进制,十二进制,六十进制,二十进制,都是为解决有趣的问题而生的。

想象一下,如果小学的数学老师,真的带着你掰了一节课的手指,你还会忘记这些知识吗?

我猜,不会的。因为你知道,那些数学公式,投射到现实世界里,到底是为了解决一个什么样的问题。

我再举个例子。

3

也许,你觉得自己的数学成绩是一场灾难。

可你知道吗?和世界上其他国家的同学比起来,你有着得天独厚的优势。

为什么?

因为汉语,在帮你学数学。

看到这里,你可能会有点疑惑。学数学,和汉语有什么关系?

我举个例子。

如果你愿意的话,请口算一下,13乘以9,等于多少?

没错,是117。

请问,你是怎么算出来的呢?

我猜猜看,是不是“三九二十七”,“一九得九”,二十七加九十,得出的117?巧了,我也是这么算的。

我想再问一个“无聊”的问题:这个“三九二十七”,是哪来的?

来自一张流淌在血液里的表格——九九乘法表。

是的。我和你一样,也背过这张九九乘法表。我们今天所拥有的口算能力,都建立在这张表的基础之上。

可是你知道吗?如果你在一些外国友人的面前,通过口算得出了13乘以9等于117,他会像看神仙一样看着你的。

为什么?因为在这个世界上的很多国家,是没有九九乘法表的。

没有九九乘法表?那怎么口算?

挺新奇的。我试着讲给你听。

比如说,古埃及人。

很久很久以前,古埃及人还生活在国王的统治之下。耕田种地,那是要交税的。

怎么交?

按土地面积交。横着走13步,竖着走9步,就是这块土地的面积。

可是,没有九九乘法表,13乘以9要怎么算呢?

古埃及人,是用堆石头的方法来解决的。

怎么堆?

第一行,先在左手边,放下13颗石子。再在右手边,放下1颗石子。

那第二行呢?要怎么堆?

翻倍。先在左手边,放两次13颗,也就是26颗。再在右手边,放两次1颗,也就是2颗。

第三行,也是同样的道理。左手边是26的翻倍52颗,右手边是2的翻倍4颗。

那要堆到什么时候?

堆到右手边能加出9的时候。

你看,右手边的第一行,是1颗石子。第四行,是8颗石子。一共就是9颗。

左手边的第一行,是13颗石子。第四行,是104颗。一共就是117颗。

天啊,这也太神奇了。

还有吗?

再比如说,俄罗斯人。

战斗民族是怎么解决乘法问题的呢?

第一行,先在右手边,写上13。再在左手边,写上9。

第二行,在右手边减半(6.5),但只取整数,写上6。再在左手边,翻倍,写上18。

第三行,右手边就是3,左手边就是36。

第四行,右手边就是1,左手边就是72。

有趣的事情又出现了。

右手边,有三个奇数:13,3,1。三个奇数的左手边,对应着三个数字:9,36,72。

9+36+72。没错,也是117。

其实,不光是古埃及和俄罗斯,这个世界上,还有各种各样五花八门的乘法计算方式。

虽然,这些计算方式看上去很“怪异”。但是,准确且有效,就是计算的意义。

可是,在效率上,几乎没有任何一种计算方式,能够媲美九九乘法表。

既然如此,没有九九乘法表的国家,为什么不引进呢?

答案是,语言。

汉语中的数字,一、二、三…九,都是单音节的。英语中的数字,one,two,three…nine,既有单音节,又有双音节。

我们小时候背的九九乘法表,朗朗上口,音律感特别强。

想象一下,英语世界的孩子们要是背九九乘法表,那得乱成什么样?

俄罗斯的孩子说,你们聊,我先走了。

你发现了吗?数学的背后,就是一个又一个有趣的问题。

数学,就是用来窥探万物本质的。

4

我到今天还能记起,我在南京大学的第一堂数学课。这堂课的名字叫做“概率”。

概率?这不是高中就学过的知识吗?

于是,数学老师用“条件概率”,给了我们一个下马威。

什么是条件概率?

老师出的那道题,是这么说的。

“有一对父母,生了两个小孩。已知其中一个是女孩,请问,另外一个也是女孩的概率是多少?”

非男即女,50%吗?这应该明显不对,这道题不可能这么简单吧。

25%?也不对。

那,怎么来思考这个问题呢?

首先,站在最顶端的位置(父母)来思考。生孩子,肯定是有先后的。先生一胎,再生二胎。非男即女,所以有四种不同的结果:男男、男女、女女、女男。每种结果的可能性各占25%。

这应该挺容易理解的。

但是,题目中有一个隐藏的条件:已知其中一个是女孩。

什么意思?

简单来说就是,不符合这个条件的样本“男男”,就不在讨论的范围之内。

也就是说,只有“男女、女女、女男”三个样本。

所以,其中一个是女孩,另外一个也是女孩的概率,是三分之一。

这就是条件概率。

头又开始痛了

不是说,窥探万物本质吗?条件概率,能窥探什么?生二胎的心理预期吗?

别着急。我斗胆试着点一点。

假如,你想知道中国有多少孩子喜欢书法。

如果你在学校里发问卷,调查的结果可能是20%。如果你在兴趣班里发问卷,调查的结果大概会高一些,40%。如果你在书法班发,那结果也许就是80%。

为什么?

因为“条件”变了。

那你猜猜看,哪个行业的人,用“条件概率”用得最熟练?

好吧。小标题已经出卖了我。

你大概也有过这样的经历。

你接到一个陌生的来电,电话的那一头说,我是你的领导,我现在遇到了一点情况,给我转个几万块钱,周一我到办公室还你。

浓重的口音,磕巴的发言,一点专业水准都没有。简直是把骗子两个字写在了脸上。

这么蠢,能骗得到人吗?

还真能。因为骗子特别擅长用条件概率来管理他的样本。

什么意思?

在骗子眼里,这个世界上只有两种人。一种是容易上当的,一种是不容易上当的。

和不容易上当的人通上一个小时的电话,你还是骗不了他。

可如果,把这一个小时花在容易上当的人身上,成功率就能大大提高。

也就是说,骗子要提前把容易上当的人,筛选出来。

可是,容易上当的人,也不会把这几个字写在脸上啊。怎么筛选?

一开始就表现得像一个骗子。

我都表现得这么明显了,你居然还能跟我聊下去?

要么,你是小爱同学。要么,你就是我的目标客户。

如果你一听就知道我是骗子,很生气,啪的一声挂掉了电话。

太好了,反正我也骗不到你,我们各自安好,不要浪费彼此的时间。

聪明人,一下子就被筛除掉了。

这就是骗子的小把戏。

5

聊到概率,就绕不开一项实验。

这项实验叫做:带编号的立方体重复性概率试验。

坊间俗称,赌大小。

具体怎么赌呢?

就像电视剧里播放的那样。庄家把三个骰子放进骰盅,用随机的力度、幅度、次数摇动骰盅,并在随机的时间之后停止。

然后,请下注。

(赌大小赔率,图片来自网络)

是买大小好呢?还是买三个六好呢?

这就涉及到了一个数学概念——数学期望。

怎么算呢?

如果,你花一块钱买了大。

买中,就能收益一块钱。买失,就会损失一块钱。买中大的概率,是48.6%。(为了减轻头疼的症状,计算过程就不展开了)

所以,买大的数学期望是:1*48.6%+(-1)*51.4%=-0.0278。

这就意味着,如果你不停地买,不停地买,每买一次,就要亏掉0.0278块钱。

如果,你花一块钱买了三个六。

买中,太厉害了,收益149块钱。买失,还是损失一块钱。看上去,是不是很划算?

可是,买中三个六的概率,只有可怜的0.46%。

所以,买三个六的数学期望是:149*0.46%+(-1)*99.54%=-0.31。

这就意味着,如果你不停地买这种以小博大的三个六,每买一次,就要亏掉0.31块钱。

买大小,买中的概率更大,可还是在亏损。

买三个六,看起来很划算,其实比买大小亏得更多。

那怎么买?

这还用想?这是赌徒的迷宫,当然是站起来就走啊!

这就是“久赌必输”的逻辑。

6

闹了半天,数学书里的这些东西,难道就是用来做坏事的吗?

闹了半天,数学教的这些概率、数学期望,就是用来做坏事的吗?

当然不是。商业的底层逻辑,同样是数学。

比如说,风险投资。风投,就是一种特别典型的,系统性地用概率和数学期望来赚钱的方式。

什么意思?

假如一家创业公司,成功的概率有5%,成功之后,利润是成本的20倍。

那么,这家创业公司值不值得投资?

理论上来说,值得。

为什么?

因为它的数学期望大于1。

可是,即便一件事情的数学期望大于1,这件事情值得去做。

但是对于这位创业者来说,成功的概率只有5%。

这个概率实在是太小了。

他的成功,是极度不确定的。

5%的成功率,就意味着还有95%的概率会失败。

也就是说,我投资他,会有95%的概率血本无归。

那怎么办呢?

把个体的不确定性,变成群体的确定性。

这就是大数定律

你抛一枚均匀的硬币,落地后正面向上,或者反面向上的概率,都是50%。

那么你抛两次硬币,就一定会出现一次正面向上,一次反面向上吗?

不一定。

但是如果你抛1000次呢?

结果几乎就是一定的了。

正面向上和反面向上的次数,都接近于500次。

只要你重复实验的次数足够多,最终的结果就会比较稳定,趋近于期望值。

风险投资,也是这个道理。

假如一个人创业,成功的概率是5%。我投资他一个人,有95%的概率血本无归。

那如果我投资20个这样的人呢?

20个人中,只要有1个人创业成功了,我就能赚到超过20倍的钱,对我来说就是划算的。

那么,20个人中,至少有1个人成功的概率是多少?

是64.2%。(1-0.95^20=64.2%)

投资1个人,我投资成功的概率是5%

而投资20个人,我投资成功的概率是64.2%

我投资成功的概率就大大增加了。

这就是风险投资的逻辑。

在真实的商业世界中,每个创业者的个人水平不同、选择的赛道不同、商业的逻辑也不同。

他们的成功概率都是不同的。有的人成功概率是1%,有的人是5%,而有的人是8%。

但总体来说,创业是九十九死一生的游戏。5%的成功概率,已经算是高的了。

投资人所做的事情,就是靠自己的经验和眼光,筛选出那些成功概率更高、回报倍数更高的人。

然后,一次去投很多很多人,分散风险。

这样他们大概率就能投资成功,获得巨大的回报。

这就是把个体的不确定性,变为群体的确定性。

风险投资,就是这样系统地靠大数定律赚钱的。

7

如果,在学生时代,你对数学老师说:

老师,我觉得数学一点用都没有。我不明白,学数学,到底是为了什么?

我相信,大部分的数学老师,可能都会给出一个同样的回答:

学数学,是为了锻炼你的数学思维。

什么是数学思维?

比如说,我们前面说到的公理体系,就是一种几何思维。你会明白,一家企业的“大厦”,是怎样一步一步搭建出来的。

再比如说,我们前面说到的概率体系,就是一种概率思维。你会明白,正确的事,是值得重复去做的。

还有吗?

好吧。这个问题太深奥了,我实在是没有办法穷举。

再举三个例子吧。微积分、代数、博弈论。

别怕,我们一个一个来说。

很多人一听说微积分,想到那些复杂的微分方程、积分方程,就头疼。

我们今天不聊方程,只聊微积分的思维方式。

微积分的思维方式其实特别简单,也正是因为简单到了极致,所以非常漂亮。

微积分是牛顿发明的。所以,他为什么要发明微积分呢?

你可能会说,是为了在考试中虐待我们。

不是的。

其实在牛顿以前,人们对速度这些变量的了解,仅限于平均值的层面。

比如说,我知道一段距离的长短,和走完这段距离的时间,就可以算出一个平均速度。

但是,每个瞬间的速度,我是不了解的。

于是,牛顿就发明了微分,用无穷小这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。

而积分跟微分正好相反,它反映的是瞬间变量的积累效应。

说了半天,到底什么是微积分?

我举个简单的例子。

一个物体静止不动,你推它一把,会瞬间产生一个加速度。

但有了加速度,并不会瞬间产生速度。

加速度累积一段时间,才会有速度。

而有了速度,并不会瞬间产生位移。

速度累积一段时间,才会有位移。

宏观上,我们看到的是位移。但是从最微观的角度来看,其实是从加速度开始的。

加速度累积,变成速度。速度累积,变成位移。

这,就是积分。

反过来说,物体之所以会有位移,是因为速度在一段时间的累积。

而物体之所以会有速度,是因为加速度在一段时间的累积。

位移(相对于时间)的一阶导数,是速度。

而速度(相对于时间)的一阶导数,是加速度。

宏观上,我们看到的是位移,但是从微观上来看,其实是每一个瞬间速度的累积。

而位移的导数,就是从宏观回到微观,去观察它“瞬间”的速度。

这,就是微分。

我的头

所以,微积分跟我有什么关系?

理解了微积分,你看问题的眼光,就会从静态变为动态。

什么意思?

人类,就是微积分的例子。

你今天晚上努力学习了,但是一晚上的努力,并不会直接变成你的能力。

你的努力,得累积一段时间,才会变成你的能力。而你有了能力,也不会马上就出成绩。

你的能力,得累积一段时间,才会变成你的成绩。而你有了一次成绩,还是不会马上就得到领导的赏识。

你的成绩,得累积一段时间,才会得到领导赏识。

从努力,到能力,到成绩,到赏识,它是有一个过程的,有一个积分的效应。

日积月累,水滴石穿,不是尽人皆知的故事吗?

不是的。你会发现,有很多人其实并不相信这个过程。

“我今天这么努力地工作了,一分钟都没摸鱼,领导为什么还不赏识我?”

“我已经推过这个飞轮了,为什么它还没有转起来?”

他忘记了。忘记了过程的力量。

反过来说,有些人可能一直以来工作都做得特别好。但是从某个时候开始,因为一些原因,慢慢开始懈怠了。

他的努力程度下降了。但这个时候,他的能力并不会马上跟着下降。可能过了三四个月,才会慢慢显示出来。

他会发现,做事情开始变得不能从心所欲了。然后又过了三四个月,他做出来的东西,领导开始越来越看不上了。

他可能会觉得,这有什么大不了的,我不过就是这一件事没做好呗。

但他忘记了。忘记了这仍然是一个过程

早在七八个月前他不努力的时候,一切都埋下了种子。

努力的时候,都希望瞬间被认可。

出事的时候,却不去想几个月之前就开始忽视的蚁穴。

8

聊完微积分,我们再来聊聊代数。

一开始,我们学的是自然数,包括0和正整数。0,1,2,3,4,5…

然后是整数,包括了自然数和负整数。…-3,-2,-1,0,1,2,3…

然后是有理数,包括了整数和分数。

在学习分数之前,数字在我们的认知中,是离散的,是数轴上一个又一个的点。

而有了分数,数字就开始变得连续了。

有理数之后,我们又学了无理数。无理数,就是无限不循环小数,比如π。

任何一个有理数,都可以由两个数相除而得来。但是无理数是无限不循环的小数,你找不到任何规律。

你会相信,世界不只是对和错、大和小。点和点之间,还有一个充满灰度的空间。

你会相信,在这个世界上,有些事情就是复杂到没有规律的。

π就是π,根号就是根号,它就是很复杂,复杂到没有任何一个简单粗暴的方式能来定义它。

你要承认它的客观存在,承认这个世界的复杂性。

你看,我们就是在各种数里,一步一步地理解了这个复杂的世界。

再复杂一点。数这个东西,除了大小,其实还有一个非常重要的属性:方向。

在数学上,我们把有方向的数字叫做向量。

数字,还非得加个方向,有意义吗?

我举个例子。

假如,你今天拖着一个箱子往东走。你力气很大,有3000N。

这时,有人非要跟你对着干。他把箱子往西拖,但力气没你大,只有2000N。

结果呢?

这个箱子还是会跟着你往东走,只不过只剩下1000N的力,它的速度会慢下来。

可如果拖着的不是箱子,而是人呢?

两位得力战将,向着完全相反的方向发力。与其互相牵制,那可能还不如完全交给其中一个人来做。

这挺容易理解。但还有一种情况。

做同一件事情,有的人想往东走,有的人想往西走,有的人想往北走,你呢?

你并不知道哪个方向是正确的。

那怎么办?

你就让他们都去干这件事吧。

虽然大家的方向不同,会互相牵制,力的大小会有损耗。

但是最终事情的走向,会是那个相对正确的方向。

9

最后,我们来说说博弈论。

什么是博弈论?

我们每天都要做很多很多大大小小的决策。

比如说,我午饭是吃饭、吃面、还是吃饺子?

这就是一个决策。

这个决策只跟我自己有关,并不会涉及到别人。

但总有一些决策,是需要涉及到别人的。

涉及到别人的决策逻辑,我们把它叫做博弈论。

比如说,围棋。

每走一步棋,我的所得就是你的所失,我的所失就是你的所得。

这是博弈论中典型的零和博弈。

在零和博弈中,你要一直明白,你要的是全局的最优解,而不是局部的最优解。

什么意思?

下围棋的时候,不是在每一步上,你都要吃掉对方最多的子。

你要让终局所得最多,就要步步为营,讲究策略。

有时候让子是为了以退为进。始终记得,你是为了全局最优,而不是局部最优。

这就是所谓的,善弈者,通盘无妙手。

创业如是,商业如是,人生亦如是。

不要总想着每一件事情都必须一帆风顺,如果你想得到最好的结果,可能在一些关键步数上就要做些妥协。

除了零和博弈,还有一种博弈,叫做非零和博弈。

非零和博弈讲究共赢。

共赢的前提,是建立信任。但建立信任,其实特别不容易。

为什么?因为考验人性。

假如,市场上现在需要100万台冰箱。

一个厂家发现了这个需求,决定马上生产100万台。

另一个厂家发现了这个需求,也决定马上生产100万台。

第三个厂家也是一样。

……

结果,每一个厂家都生产了100万台,供大于求,大部分厂家都会遭受很大的损失。

如果这个时候,大家能够建立起信任,说好10个厂家,每个人都只生产10万台,这样正好能够满足需求,每个厂家都能够赚到钱,大家就能达成共赢。

你看,大团圆结局。

可是,你很清楚,总会有人打破约定的。凭什么要求我只生产10万台?我偏不。

只要有一个厂家没有遵守约定,别人都生产10万台,但是他生产30万台,这个时候,就多出来了20万台,大家就会因此遭受损失。

建立这种信任,特别不容易,但是这件事情在商业世界里非常重要。

那怎么才能建立信任呢?

我斗胆提两个建议。

第一个建议是,你要找到那些能够建立信任的伙伴。

有些人,是永远都无法和他达成共赢的,这样的人你就要远离。

第二个建议是,你要主动释放信任。

你要先让别人知道你是值得信任的人,这样想要与你达成共赢的人,才会来找到你。

最后的话

数学的星空,太浩瀚了。

28年前,1994年那个炎热的夏天,是属于我的高考季。

在拿到622分的成绩单之后,我和千千万万个少年一同面对着一件人生大事。

填志愿。选学校。选专业。

南京大学,是我梦寐以求的高校。国际金融,是那一年的大热专业。

可我身边那些超级学霸们都选择了计算机。我也执拗地认为,计算机才是未来的趋势。

于是,我也满怀着对未来的憧憬,填下了南京大学,计算机专业

是的。数学,不是我的第一志愿。

然后分没够上。

可无比幸运的是,那一年,南京大学的投档线,是618分。

将将比我的成绩低了4分。

简单来说就是我被调剂了。

就这样,我混进了南京大学,鬼使神差地成为了一个数学系的学生。(当然,我还是很喜欢数学的,小的时候还拿过全国数学竞赛的一等奖。)

如果当年,我顺利地被南京大学计算机系录取了,我的人生会变成什么样呢?

我不知道。

我能知道的是,我是数学的受益者。

它是我的热爱,是我的工作,是我的思维,是我的底层逻辑。

所以,谢谢。

真的真的,谢谢你们,我的每一任数学老师。

谢谢你们。

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